蚊帳は英語で、mosquito net です。

蚊は英語で、mosquito

ネットは英語で、net なのでそのままですね。

では、

「蚊帳の外」は英語でなんていう？

out of mosquito net ではなく、

蚊帳の外は英語で、Out of the loop です。

「輪から外れている」という意味合いで、Out of the loop です。

その反対は、in the loop 輪の中に入っている＝情報を共有している、という意味になります。

「仲間はずれになる」は英語でなんていう？

「蚊帳の外」と似たような表現で、仲間はずれになるは英語で、(be) left out です。

例）My grandfather was left out in his village community because of his smoking manner.