日本語で遺書と言えば、遺族に遺産の分配などを含め自分の死後に関しての意向、意志を示すために書くものだったり、自殺者が自分が伝えられなかったことを書き記すものとされていますが、英語ではこの2つは違った表現になります。

1、遺族に向けて書く方の「遺書」「遺言」は「Will」・「Testament」といいます。
そして「Will」には
助動詞として使う「・・・だろう」とか「・・・するつもりだ」
という意味の他に
名詞として「意志」「意向」「決意」
という意味があります。

「Testament」は動詞として「Testate」で「遺言を残す」という意味があり、名詞としては「遺言を残した人・遺言者」という意味になります。

Before my grandfather’s death, he left a will so that we’ll not have a fight with our relatives.

おじいさんは親戚が喧嘩をしないように私達に遺書を残しました。

2、自殺者が書くものは「Suicidal note」といいます。

He had written lots of suicidal notes about his classmates who had bullied him.
彼は彼をいじめていたクラスメイトにたくさんの遺書を書いていました。

自殺は英語で「suicide」です。
自殺をするは「kill oneself」もしくは「commit suicide」です。

No matter what happens, please don’t commit suicide.